Runkolukusarja ja Weibull-jakauma

Runkolukusarja kuvaa, kuinka yleisiä läpimitaltaan erikokoiset puut ovat. Mikäli puita mitataan suuri määrä, voidaan tuloksista johtaa suoraan empiirinen runkolukusarja.

   Mitataan puiden läpimitat ja ryhmitellään ne luokkiin.
   Muunnetaan luokittaiset runkolukumäärät hehtaarikohtaisiksi (esimerkiksi jos koeala on 20m*30m eli 600m^2, saadaan hehtaarikohtainen runkoluku lausekkeella [frekvenssi*10 000m^2/600m^2]), jolloin saadaan tietoon puiden lukumäärä per läpimitta.
   Mikäli käytössä on pituusmittauksia, ennustetaan jokaiselle luokalle keskipituus.
   Lasketaan jokaiselle luokalle tilavuus (keskiläpimitan ja -pituuden avulla)
   Kerrotaan keskitilavuus runkojen lukumäärällä.
   Hehtaarikohtaisen tilavuuden saa summaamalla luokkien runkojen yhteistilavuudet yhteen.

Teoreettisempi vaihtoehto on runkolukusarjan määrittäminen ppa:n (puiden pohjapinta-alan) ja mediaanipuun (puu, jota paksumpia ja ohuempia on puolet mitatuista puista) läpimitan perusteella. Ennuste on yleensä tarkempi kuin pelkkiin keskiarvoihin perustuvat laskelmat.

   Perustuu joko läpimittaluokan suhteelliseen runkolukuun tai suhteelliseen pohjapinta-alaan. Näistä pohjapinta-ala on käytännössä tehokkaampi.
   Kuvataan todennäköisyysjakaumien tiheysfunktioiden avulla, jolloin alueen pinta-ala = 1 ja läpimittajakaumien odotettu suhteellinen osuus on osuus tästä.
   Voidaan käyttää normaali-, Weibull- ja betajakaumia. Normaalijakauma on kaikkein joustamattomin ja siksi vähemmän käytössä.

Teoreettisen runkolukusarjan muodostaminen:

   Ennustetaan tiheysfunktion parametrit mitattujen puiden avulla (tilastolliset estimointimenetelmät) tai jos on mitattu vain summa- ja keskitunnuksia, niin valmiita malleja käyttäen (esim. Päivinen 1980, Kilkki ym. 1989).
   Muodostetaan läpimittaluokat.
   Käytetään saatua tilavuusfunktiota luokkien frekvenssien laskemiseen.
   Käytetään malleja haluttujen ominaisuuksien ennustamiseen (pituus, tilavuus, puutavaralajien määrät)
   Hehtaarikohtainen tilavuus saadaan luokkien runkojen yhteistilavuuksien summana.

________________________________________________________________________________

Weibull-funktion kolmeparametrinen muoto on

f(x) = c/b^c * (x-a)^(c-1) * exp[-((x-a)/b)^c], jossa

a=jakauman minimiarvo ja

b ja c kuvaavat jakauman muotoa.

Weibull-funktion parametreille on määritelty valmiit mallit (Kilkki ym. 1989), jossa

a = 0,001389+0,517444 dgM

ln(b) = -0,346223+0,934993ln(dgM)-0,000925G

c = ((ln(-ln(0,5))))/(ln((dgM-a)/b), joissa

dgM = pohjapinta-alan mediaaniläpimitta sentteinä

G = puun pohjapinta-ala neliömetreinä

ja a ja b aiemmin määriteltyinä.

Excelissä yms. käytetään komentoa WEIBULL.

Weibull-funktion kertymä- eli summajakauma saadaan muodostettua analyyttisesti ja on

f(x) = 1- Neperinluku^[-((x-a)/b)^c]

Tästä funktiosta muodostetaan runkoluku integroimalla kyseinen funktio niin, että integointiavaimen yläpuolelle tulee luokan yläläpimitta ja alapuolella luokan alaläpimitta sentteinä. Integrointi ei onnistu Excelillä suoraan, mutta se on silti mahdollista tehdä ohjelmiston avulla.

Esimerkki Weibull-jakauman käytöstä täällä.

Esimerkki Excelillä integroinnista täällä.

Ylärajan a ja alarajan b välillä käytetään beta-jakaumaa

f(x) = c(x-a)^alfa * (b-x)^beta, jossa

alfa ja beta = määrittelevät jakauman muodon. Ne ovat ratkaistavissa puujoukon keskitunnusten avulla.

c = skaalauskerroin, joka määritellään numeerisesti niin, että jakaumasta saatujen frekvenssien summa vastaa runkolukua tai pohjapinta-alaa.

Beta-jakauman kertymäfunktio saadaan tiheysfunktiosta integroimalla numeerisesti jakauman alarajasta ylärajaan.